Question

已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，，证明：λ+μ为定值．

Answer

（1）根据椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，，建立方程，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆方程；
（2）设出A（t，y），B（t，-y），K（x，y），利用A在椭圆上有，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及，，求出λ，μ的值，即可得出结论．
【解析】
（1）由已知得，解得
∴b2=a2-c2=1…（3分）
∴椭圆方程为．…（5分）
（2）依题意可设A（t，y），B（t，-y），K（x，y），且有
又，
∴，
将代入即得
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上．…（10分）
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
所以，①，②…（13分）
因为，所以（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]，
即，所以x3=λ（1-x3），
又l与x轴不垂直，所以x3≠1，
所以，同理．        …（14分）
所以=．
将①②代入上式可得．      …（16分）