Question

已知函数f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，根据函数f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，从而可求出a的值，由导数的正负可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，极大值为，极小值为，要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b在两极值之外即可．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）=ax3-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax2-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得  ，经检验符合题意，所以所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增↗

所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为；
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为；
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为