Question

a，b是异面直线，以下四个命题，正确命题的个数是（ ）
①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面分别与a，b都平行．
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据a，b是异面直线，以及平面的确定，作出平面α，β，γ满足①过a至少有一个平面平行于b；②必须在异面直线垂直的条件下才成立；③跟据线面垂直的判定定理，即可找到这样的平面γ与a，b都平行，且平面γ的直线有无数条，故③不成立，④找到这样的平面γ与a，b都平行，且这样的平面有无数个．故④正确．
【解析】
∵a，b是异面直线，
∴在直线a上任取一点p，过P和直线b确定一个平面α，在平面α内过P做直线c∥b，
且a，c确定平面β，b∥β，故①正确；
②若过a至少有一个平面垂直于b，则b⊥a，而a与b不一定垂直，故②不正确；
③若直线l⊥β，则直线l⊥a，l⊥b，而直线l有无数条，故③不正确；
④过b上一点直线c∥a，则b，c确定一个平面γ，则所有与它平行且不过a的平面β都满足与两异面直线平行，故④正确．
故选C．