Question

已知圆C：（θ为参数，θ∈R）．O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线l，设切点为M．
（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；
（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．

Answer

（1）通过把已知圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分存在斜率和不存在斜率的情况讨论求出切线l的方程
（2）设P的坐标为（x，y），然后用P的坐标分别表示出|PM|与|PO|，最后根据|PM|=|PO|的关系求出P的轨迹方程．
【解析】
把圆C的方程化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，
∴圆心为（-1，2），半径为2
（1）①当l的斜率不存在时：
此时l的方程为x=1，满足条件
②当l的斜率存在时：
设斜率为k，得l的方程为y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
∵，
解得．
∴l的方程为3x+4y-15=0．
综上，满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0
（2）设P（x，y），
∵|PM|2=|PC|2-|MC|2=（x+1）2+（y-2）2-4，
而|PO|2=x2+y2，
∴由|PM|=|PO|有（x+1）2+（y-2）2-4=x2+y2，
整理得2x-4y+1=0，
即点P的轨迹方程为2x-4y+1=0