Question

已知圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r≠0），满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a²-b²-2b+4取得最小值时圆的方程．

Answer

设出圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．利用弧长的比，求出∠APB．取AB的中点D，连接PD，取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE．通过1+a2=r2，求解a2-b2-2b+4取得最小值，求出对应的圆的方程．
【解析】
如下图所示，圆心坐标为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，
∴∠APB=90°．
取AB的中点D，连接PD，
则有|PB|=|PD|，∴r=|b|．
取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE．
∵圆截y轴所得弦长为2，
∴|EC|=1，∴1+a2=r2，
即2b2-a2=1．
则a2-b2-2b+4=b2-2b+3=（b-1）2+2．
∴当b=1时，a2-b2-2b+4取得最小值2，
此时a=1，或a=-1，r2=2．
对应的圆为：（x-1）2+（y-1）2=2，
或（x+1）2+（y-1）2=2．
∴使代数式a2-b2-2b+4取得最小值时，对应的圆为
（x-1）2+（y-1）2=2，或（x+1）2+（y-1）2=2．