Question

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0，其中n为正整数．
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值．

Answer

（1）设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，]，根据三角函数的特点判断f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，从而得出结论；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ，同理原式右边也等于cos22θ，从而证明结论．
（3）当n=1时，f1（θ）在[0，]上单调递增，求出最值；当n=3时，f3（θ）在[0，]上为单调递增，求出最值；正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出fn（θ）的最大值为fn（）=0，最小值为fn（0）=-1．
【解析】
（1）f1（θ）、f3（θ）在0，上均为单调递增的函数．
对于函数f1（θ）=sinθ-cosθ，设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，]，则
f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1），
∵sinθ1＜sinθ2，cosθ2＜cosθ1
∴f1（θ1）＜f1（θ2）函数f1（θ）在[0，]上单调递增．
（2）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）-（sin4θ+cos4θ）
=2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ）-（sin4θ+cos4θ）
=1-sin22θ=cos22θ．
又∵原式右边=（cos2θ-sin2θ）2=cos22θ
∴2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）．
（3）当n=1时，函数f1（θ）在[0，]上单调递增，
∴f1（θ）的最大值为f1（）=0，最小值为f1（0）=-1．
当n=3时，函数f3（θ）在[0，]上为单调递增．
∴f3（θ）的最大值为f3（）=0，最小值为f3（0）=-1．
下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ2∈[0，]，且θ1＜θ2
∵fn（θ1）-fn（θ2）=（sinnθ1-sinnθ2）+（cosnθ2-cosnθ1），
以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1  0≤cosθ2＜cosθ1＜1，
∴sinnθ1＜sinnθ2 cosnθ2＜cosnθ1，从而fn（θ1）＜fn（θ2）．
∴fn（θ）在[0，]上为单调递增，
则fn（θ）的最大值为fn（）=0，最小值为fn（0）=-1．
综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为-1．