Question

已知数列{a_n}满足：，，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），数列{b_n}满足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=4时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），得an+1-an=an-an-1=…=a2-a1．所以数列{an}为等差数列．
（Ⅱ）由{an}为等差数列，公差，知．由3bn-bn-1=n（n≥2）．知，由此能够证明数列{bn-an}是等比数列．
（Ⅲ）由bn-an=（b1-a1）（ ）n-1，知bn=，由b1＜0，可知数列{bn}为递增数列．由当且仅当n=4时，Sn取得最小值可得S3＞S4，S4＜S5 ，所以b4＜0，b5＞0．由此能求出b1的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），
∴an+1-an=an-an-1（n≥2），
即an+1-an=an-an-1=…=a2-a1．
∴数列{an}为等差数列．
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，
∴公差，
∴．
∵3bn-bn-1=n（n≥2）．
∴，
∴
又b1-a1≠0，
∴对．
数列{bn-an}是公比为的等比数列．
（Ⅲ）由（II）得bn-an=（b1-a1）（ ）n-1，
∴bn=，
∵b1＜0，可知数列{bn}为递增数列…10分
由当且仅当n=4时，Sn取得最小值可得S3＞S4，S4＜S5 ，
∴b4＜0，b5＞0，
又当b4＜0，b5＞0时，
∵数列{bn}为递增数列，
∴Sn取得最小值时，n=4，
即当且仅当n=4时，Sn取得最小值的充要条件是b4＜0，b5＞0…12分
由b4＜0得，•（）3＜0，解得b1＜-47，
由b5＞0得，•（）4＞0，解得b1＞-182，
∴b1的取值范围为（-182，-47）．…14分