Question

二次函数y=f（x）的图象经过三点A（-3，7），B（5，7），C（2，-8）．
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）求函数y=f（x）在区间[t，t+1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）由二次函数y=f（x）的图象经过三点A（-3，7），B（5，7），故可设函数解析式为f（x）=a（x+3）（x-5）+7，将C（2，-8）代入求出a值，即可得到函数y=f（x）的解析式
（2）根据二次函数在定区间上最值的求示，我们分四种情况，对区间[t，t+1]上的最大值和最小值进行分类讨论，即可得到结果．
【解析】
（1）解A，B两点纵坐标相同故可令
f（x）-7=a（x+3）（x-5）即f（x）=a（x+3）（x-5）+7
将C（2，-8）代入上式可得a=1
∴f（x）=（x+3）（x-5）+7=x2-2x-8（4分）
（2）由f（x）=x2-2x-8可知对称轴x=1
①当t+1≤1即t≤0时y=f（x）在区间[t，t+1]上为减函数
∴f（x）max=f（t）=t2-2t-8
f（x）min=f（t+1）=（t+1）2-2（t+1）-8=t2-9（6分）
②当t≥1时，y=f（x）在区间[t，t+1]9）上为增函数
∴f（x）max=f（t+1）=（t+1）2-2（t+1）-8=t2-
（x）min=f（t）=t2-2t-8（8分）
③当1-t≥t+1-1＞0即时
f（x）max=f（t）=t2-2t-8
f（x）min=f（1）=-9（10分）
④当0＜1-t＜t+1-1即时
f（x）max=f（t+1）=（t+1）2-2（t+1）-8=t2-9
f（x）min=f（1）=-9（12分）