Question

已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间
（Ⅲ）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

Answer

（I）根据辅角公式整理出三角函数的解析式，根据y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期是π，得到ω，写出解析式．
（II）根据正弦曲线的对称轴，写出函数的对称轴的形式，写出对称轴，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．
（III）根据所给的函数的自变量，依次做出函数对应的角的范围，根据正弦曲线做出函数的值域．
【解析】
（I）∵函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），
∵y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+），
（II）∵正弦曲线的对称轴是x=k
∴2x+=k，
∴函数的对称轴是x=，k∈z，
∵2x+
∴x
（III）∵x∈[-，]，
∴2x+，
∴2sin（2x+）
∴f（x）在区间[-，]上的最大值是1，最小值是-