Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1．E为PD的中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求异面直线AB与PC所成的角的正切值．

Answer

（1）取AD的中点F．连接EF，CF．由题设条件推导出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能够证明CE∥面PAB．
（2）由CF∥AB，知∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，利用题设条件推导出CF⊥面PAD，由此能够求出异面直线AB与PC所成的角的正切值．
【解析】
（1）取AD的中点F．连接EF，CF．
∵PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD，E为PD的中点．
∴EF∥PA，CF∥AB，
∴面EFC∥面PAB，
所以CE∥面PAB．…（6分）
（2）∵CF∥AB，
∴∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，
∵∠BAD=90°，CF∥AB，∴CF⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴CF⊥PA，
又∵PA∩AD=A，∴CF⊥面PAD．
∵PA=AB=BC=AD=1，
∴PF=，CF=1，
∴在直角△PCF中，
tan∠PCF==．
故异面直线AB与PC所成的角的正切值为．…（12分）