Question

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．

Answer

（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），再由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，即f′（2）=0得n=-3m，m＞0，再通过解不等式得函数的单调区间，最后利用极值定义求得极值点和极大值
（2）因为f（x）=mx3-3mx2的零点为0，3，结合（1）中对函数单调性的讨论，可知只需讨论0＜m≤3，m＞3两种情况下函数在[n，m]上的最大值即可，最后解关于m的方程即可得m的值
【解析】
（1）∵f′（x）=3mx2+2nx
由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f′（2）=0
∴n=-3m，m＞0   ①
令f′（x）=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0
得x=0或x=2，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
∴x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点．
∴极大值为f（0）=0；      
（2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3
（I）当0＜m≤3时，f（x）max=f（0）=0，∴m-n2=0 ②
由①，②解得m=，符合前提0＜m≤3．
（II）当m＞3时，f（x）max=f（m）=m4+m2n
∴m4+m2n=m-n2   ③
由①，③得m3-3m2+9m-1=0，
∵m＞3时，m3-3m2+9m-1=m2（m-3）+9m-1＞0
∴m3-3m2+9m-1=0在（3，+∞）上无实数根．
综上讨论可知，m的值为m=