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高中数学试题
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已知a>0,函数f(x)=,x∈(0,+∞).设0<x1<,记曲线y=f(x)在...
已知a>0,函数f(x)=
,x∈(0,+∞).设0<x
1
<
,记曲线y=f(x)在点M(x
1
,f(x
1
))处的切线为l
(1)求l的方程;
(2)设l与x轴交点为(x
2
,0),求证:①0<x
2
≤
; ②若0<x
1
<
,则x
1
<x
2
<2x
1
.
(1)通过求解函数的导函数,利用函数导数的几何意义求直线方程是解决本题的关键,注意点斜式方程的运用; (2)首先求出l与x轴交点,然后运用作差比较法证明①,注意二次问题配方法的应用,将②进行等价变形是解决本题的关键,注意对两根进行综合变形和转化、作差法比较大小的运用. 【解析】 (1)依题知,得:f′(x)=-,根据点斜式可得l的方程为y-, 整理得直线l的方程是 . (2)证明:由(1)得 x2=x1(2-ax1) ①由于 0<x1<,所以ax1<2,x2=x1(2-ax1)>0 又x2-=x1(2-ax1)-=,所以,0<x2≤; ②因为 x2-x1=x1(2-ax1)-x1=x1-ax12=x1(1-ax1),且0<x1<,,所以1-ax1>0,即x1<x2. 又x2-2x1=x1(2-ax1)-2x1=-ax12<0,所以 x2<2x1, 故当0<x1<,则x1<x2<2x1.
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考点分析:
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=b
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=b
3
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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