Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer

（1）先根据AC=3，BC=4，AB=5得到AC⊥BC；再结合其为直棱柱得到AC⊥CC1，即可证明AC⊥平面BCC1B1，进而得到AC⊥BC1；
（2）先设CB1与C1B的交点为E，连接DE；跟怒边长相等得到E为正方形对角线的交点，E为中点；再结合点D是AB的中点可得DE∥AC1，进而得到AC1∥平面CDB1；
（3）直接根据等体积转化，把问题转化为求三棱锥D-C1CB1的体积再代入体积计算公式即可．
【解析】
（1）直三棱柱ABC-A1B1C1，
底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC．
∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥CC1，又BC∩CC1=C．
∴AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面B1C1CB，
∴AC⊥BC1…（5分）
（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
因为；BC=AA1=4，
所以BCC1B1为正方形，
故E是C1B的中点，
∵D是AB的中点，E是C1B的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．．     …（10分）
（3）因为AC⊥平面BCC1B1，，D为中点
所以D到平面BCC1B1的距离等于AC，
∵
=
=AC
=×（×4×4）××3
=4．…（14分）