Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E，B，F，D₁四点共面；
（2）求点B₁到平面EBFD₁的距离；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tanθ．

Answer

（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面．
（2）先求出平面的法向量，再求出平面的斜线BB1所在的向量在法向量上的射影即可．
（3）分别求出两个平面的法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
【解析】
（1）证明：如图：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND1=2、
因为CF∥ND1，
所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面．
（2）设向量，并且与截面EBFD1垂直，所以，．
因为，，
所以，即，
取z=3得x=1，y=2，所以．
又因为，
所以点B1到平面EBFD1的距离为：d=．
（3）由（2）知是平面EBFD1的一个法向量，
又平面BCC1B1，所以和的夹角等于θ或π-θ（θ为锐角）．
所以cosθ． 故tanθ=．