Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求实数m的取值范围；
（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上的根的个数．

Answer

（1）首先求出函数的导函数，利用导函数的正负确定出函数的单调区间，注意复合函数的求导法则；
（2）将恒成立问题转化为函数的最值问题，关键要确定出函数在给定区间上的最值；
（3）利用方程与函数的思想，将方程根的个数问题转化为研究函数性质的问题，从而确定出方程在给定区间上的根的个数问题．
【解析】
（1）函数的定义域为（-1，+∞），．
由f'（x）＞0得x＞0；
由f'（x）＜0得-1＜x＜0，
增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．

（2）令，得x=0，
由（1）知f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增，
由，f（e-1）=e2-2，且，
∴时，f（x）的最大值为e2-2，m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）=x2+x+a，即x+1-2ln（1+x）=a．记g（x）=x+1-2ln（1+x），
则．
由g'（x）＞0得x＞1；由g'（x）＜0得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减；在[1，2]上递增．
g（x）min=g（1）=2-2ln2，又，g（0）=1，g（2）=3-2ln3，
由于2-2ln2＜3-2ln3＜1，
因此，当2-2ln2＜a≤3-2ln3时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上有两个根，
当a=2-2ln2或3-2ln3＜a≤1时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上有1个根，
当a＜2-2ln2或a＞1时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上没有根．