Question

已知数列（a_n}为S_n且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1 （n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}前n和T_n
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t取值范围．

Answer

（I）先根据an=Sn-Sn-1得，判断出数列为等比数列，根据等比数列通项公式求解；
（II）根据数列的特点可知直接利用错位相减法求数列的和Tn；
（III）将不等式转化成恒成立问题，用参变量分离求解得到结果．
【解析】
（Ⅰ）3Sn-3Sn-1=5an-an-1，∴2an=an-1，
∵a1=2，∴（n∈N*）
（Ⅱ）bn=（2n-1）22-n，

=
∴Tn=12-（2n+3）×22-n（n∈N*）
（Ⅲ）cn=tn（nlg2+nlgt+lg2-n）=ntnlgt，∵cn＜cn+1，∴ntnlgt＜（n+1）tn+1lgt
∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt
∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）⇔，
∵n∈N*，，∴