Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B、A₁P（如图2）
（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）．

Answer

本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．
【解析】
解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A1E⊥平面BEF，
即A1E⊥平面BEP

（3）在图2中，A1E不垂直A1B，
∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE．
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形．又A1E⊥平面BEP，
∴A1B=A1P，
∴Q为BP的中点，且，又A1E=1，
在Rt△A1EQ中，，
∴∠EA1Q=60°，
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°

在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有
∴PF=PQ①，
∵A1E⊥平面BEP，
∴A1E=A1Q，
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角．
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，又∴．
∵MQ⊥A1P，∴
∴
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B-A1P-F的大小为