Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

连接A1C，可以证明与面AB1D1与面BC1D都垂直，设分别交于M，N，MN为平面AB1D1与平面BC1D的距离． 可求CN=A1M=a，从而MN=A1C-A1M-CN=a．
【解析】
连接A1C，与面AB1D1与面BC1D分别交于M，N．
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面A1C1C∴B1D1⊥A1C，
同理可证AB1⊥A1C，又B1D1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1；
同理可证，A1C⊥面BC1D．∴MN为平面AB1D1与平面BC1D的距离
∵△AB1D1 为正三角形，边长为a，三棱锥A1-AB1D1 为正三棱锥，∴M为△AB1D1 的中心，MA=a=a
A1M==a，同理求出CN=A1M=a，又A1C=a，∴MN=A1C-A1M-CN=a．
故选C．