Question

从空间中一点P引三条射线PA，PB，PC，且三条射线两两成60°角，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C，连接AC在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，∠AMN就是二面角A-PB-C的平面角，解三角形AMN，即可得到二面角A-PB-C的余弦．
【解析】
在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C，
所以∠AMC就是二面角A-PB-C的平面角，连接AC，
由图可得，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，则AP=2a，AM=a，
同理，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，则CP=2a CM=a．
因为∠APC=60°，PA=PC=2a，
所以△PAC为等边三角形，即AC=2a．
在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，
令MN=b，CN=a-b，AN=x，
由勾股定理可得，在△AMN中有：（ a）2-x2=b2；
在△ACN中有：（2a）2-x2=（ a-b）2，
联合两式消去x整理的，a=b，即 =，=，
所以二面角A-PB-C的余弦值是 ．
故选A．