Question

已知正四棱锥的侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为θ₁，相邻两侧面所成的二面角为θ₂，则（ ）
A．
B．
C．θ₁=θ₂
D．

Answer

由已知中正四棱锥的侧面是正三角形，侧面与底面所成的二面角为θ1，相邻两侧面所成的二面角为θ2，我们可以画出满足条件的图形，结合二面角的定义，我们可以找到θ1，θ2对应的平面角，解三角形求出它们的三角函数值，进而可以判断出θ1与θ2的关系．
【解析】
正四棱锥S-ABCD中，取AB的中点E，AB的中点F，底面ABCD的中点O，
连接AF，CF，AC，SE，SO，OE，
由正四棱锥的结构特征，易得∠SEO=θ1，∠AFC=θ2，
由已知中四棱锥的侧面是正三角形，故边长设为1，
则在△SOE中，SE=，OE=
∴cos∠SEO=cosθ1==
在△AFC中，AF=FC=，AC=
则cos∠AFC=cosθ2=
又∵cos2θ1=2cos2θ1-1=
故θ2=2θ1，
即
故选D