Question

已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁，已知AB=2，，
求：二面角A₁-AB-B₁的大小的正弦值．

Answer

因为BB1⊥α，利用线面垂直的判定定理可以得到平面ABB1⊥α，再利用三垂线定理根据二面角的定义求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．
【解析】
∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，
∴AB1=B1B=．
∴Rt△AA1B中，A1B===．
由AA1•A1B=A1F•AB得A1F===，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，
∴二面角A1-AB-B1的正弦值为．