Question

已知：斜边为AB的Rt△ABC，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为PB，PC边上的垂足，
（1）求证：EF⊥PB
（2）求：若PA=AB=2，∠BPC=θ，则θ为何值时，△AEF的面积有最大值？最大值为多少？

Answer

（1）由题意可得：PA⊥BC，可得BC⊥平面PAC，即BC⊥AF，由题中的条件可得AF⊥平面PBC，可得AF⊥PB，再结合AE⊥PB，线面垂直的判定定理得到线面垂直进而得到线线垂直．
（2）由题中条件可得：PB=2，PE=BE=．由（1）可得：AF⊥EF，PB⊥EF，进而得到EF=tanθ，，即可得到，再利用二次函数的性质求出面积的最大值．
【解析】
（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．
∴PA⊥BC，
又AB为斜边，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又∵AF⊂平面ACP，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，
又∵AE⊥PB，AE∩AF=A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．（4分）
（2）在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，
∵PA⊥AB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．
由（1）可得：AF⊥平面PBC，∴AF⊥EF．
∵∠BPC=θ，PB⊥EF，
∴EF=tanθ，
∴AF=，
∴．
∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AEF有最大值为，
∴当tanθ=时，S△AEF面积最大，最大值为．