Question

已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEGF所截得的，其中AB=4，BC=2，CG=3，BE=1，
（1）求：BF与平面BCGE所成角的正切值
（2）求：截面AEGF与平面ABCD所成的二面角的余弦值
（3）在线段CG上是否存在一点M，使得M在平面AEGF上的射影恰为△EGF的重心．

Answer

（1）可以建立空间坐标系，设出F点的坐标，根据截面AEFG为平行四边形，，得到F点的坐标；利用与平面BCGE的法向量夹角求解．
（2）分别求出平面AEGF及平面FABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-FC1-C的余弦值．
（3）设M在平面AEGF的射影为H，．故不存在．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），G（0，4，3）设F（0，0，z）．
∵AEGF为平行四边形，
∴，
即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴=（-2，-4，2）．于是||=2，即BF的长为2.=（-2，-4，2），
易知平面BCGE的一个法向量为=（0，1，0），|cos＜＞|===sinθ
cosθ=∴BF与平面BCGE所成角的正切值为tanθ=2．
 （2）设 为平面AEGF的法向量且 =（x，y，z）
由
即令z=1∴，易知平面ABCD的法向量=（0，0，1）
设截面AEGF与平面ABCD所成的二面角为α，则|cosα|=||=
（2）截面AEGF与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
（3）不存在，在△AGC中，设M在平面AEGF的射影为H，
∵．故不存在．