Question

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=30°，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值．

Answer

（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可．
（3）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（3）问作铺垫的．求直线与平面所成的角，首先要作出这个平面的垂线，由第（1）问可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角，tan∠CDO==，当OD最小时，tan∠CDO最大．
【解析】
（1）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，
∴．
又 DE=AO=．
∴，
∴在Rt△CDE中，．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为，
所以异面直线AO与CD所成角的正切值大小为．
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，并且，
当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，
所以，
所以，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为．