Question

若函数f（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer

由“f（x）=loga（x+1）的定义域是[0，1]”，可知0≤x≤1，从而有1≤x+1≤2．再利用对数函数的单调性研究：当a＞1时，是增函数，则有0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1；当0＜a＜1时，是减函数，则有loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，分别求解，最后取并集．
【解析】
f（x）=loga（x+1）的定义域是[0，1]，
∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2．
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，
∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，
与值域是[0，1]矛盾．
综上，a=2．
故选D