Question

已知y=f（x）是二次函数，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=log₃f（x）的单调递减区间及值域．

Answer

（1）先由二次函数，设出其解析式，再利用f（0）=8，求得c，再利用待定系数法应用f（x+1）-f（x）=-2x+1求解．
（2）由（1）写出函数f（x）的表达式，结合对数函数的性质得出其单调递减区间及值域即可．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c
由f（0）=1得c=8
∴f（x）=ax2+bx+8
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+8=ax2+（2a+b）x+a+b+8
∴f（x+1）-f（x）=ax2+（2a+b）x+a+b+8-ax2-bx-8=2ax+a+b
∵f（x+1）-f（x）=-2x+1
∴2ax+a+b=-2x+1
∴2a=-2且a+b=1
∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x2+2x+8
（2）函数y=log3f（x）
=log3（-x2+2x+8）
=log3[-（x-1）2+9]
∴单调递减区间[1，4]
值域（-∞，2]．