Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且在点P_n（n，S_n）处的切线的斜率为K_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据题中已知条件，先求出数列{an}的前n项和Sn的表达式，进而求得数列{an}的通项公式；
（2）根据题中条件求出Kn的表达式，结合前面求得的数列{an}的通项公式，即可求得数列{bn}的通项公式，进而可以求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n（n∈N*）．…（3分）
当n=1时，a1=S1=1+2=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1   ①
当n=1时，a1=3也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1．…（6分）
（2）由f（x）=x2+2x求导可得f′（x）=2x+2．
∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn，
∴Kn=2n+2．…（8分）
，
∴bn=22n+2（2n+1）=4（2n+1）•4n，
∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4n ①
由①×4得：∴4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4n+1 ②
①-②得-3Tn=4×（3×4+2×42+2×43+…+2×4n-（2n+1）4n+1）
=4×（12+2×-（2n+1）4n+1）=
所以 Tn=…（12分）