Question

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？

Answer

（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；
（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．
【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系，
∵，∴，，∴N点的坐标为（3a，4a）．
又射线OA的方程为y=3x，
又B（p，0），∴直线BN的方程为
∴．…（4分）
当p=3a时，C（3a，9a），．
当p≠3a时，方程组，解为

∴点C的坐标为．
∴．对p=3a也成立．
∴．…（8分）
（2）由（1）得．
令，∴，
当且仅当，即，此时，上式取等号，∴当Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）