Question

已知椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得．F₂为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：；
（3）当点P在椭圆上运动时，试探究是否存在实数λ，使得点Q在同一个定圆上，若存在，求出λ的值及定圆方程；否则，请说明理由．

Answer

（1）根据椭圆的两准线间距离为6，离心率．可以找到关于a，b，c的3个等式，求出a，b，c，进而求出椭圆方程．
（2）利用椭圆的第二定义，可知．再根据PH=3-x，就可求出．结论得证．
（3）先假设点P在椭圆上运动时，存在实数λ，使得点Q在同一个定圆上．再根据可找到P，Q，H点坐标之间的关系，求λ．若能求出，则λ存在，若求不出，则λ不存在．
【解析】
（1）∵椭圆的两准线间距离为6，∴=6，∵离心率．∴=．
又∵a2=b2+c2，得a=，b=
∴椭圆方程为
（2）离心率，右准线方程：x=3
∴，又∴．
（3）设Q的坐标为（x，y），H（3，y），∴y=y．∵
∴3-x=λ（x-3），∴x=3λ+3-λx
又∵，∴，即，
当且仅当，即时，
点Q在定圆上．