Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}，的第1、3、5项．
（1）求数列{a_n}，与{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}，与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，试求正整数m，使得S_m=T₁₂；
（3）求证：数列{b_n}中任意三项都不能构成等差数列．

Answer

（1）因为数列{an}为等差数列，所以只需求出首项和公差，就可得到通项公式．同样，因为数列{bn}为等比数列，所以只需求出首项和公比，就可得到通项公式．把a1，a4，a16，都用a1，d表示，b1，b3，b5都用b1，q表示，因为{an}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}，的第1、3、5项，可找到含a1，d，b1，q的几个等式，解出a1，d，b1，q即可
（2）由（2）中所求的a1，d，b1，q的值，可求出数列{an}，与{bn}的前n项和Sn与Tn，再令Sm=T12，解出m即可．
（3）用反证法证明，先假设{bn}中存在三项bi，bj，bk（i＜j＜k）组成等差数列，根据假设求i，j，k的关系，得出不成立的结论，则假设不成立，命题的证．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，∴a4=a1+3d，a16=a1+15d
又b1=a1，b3=a4，b5=a16∴b32=b1b5
∴（a1+3d）2=a1（a1+15d），∴9a1d=9d2．∵d≠0，a1=d．
∴d=1，an=n．
又{bn}的公比为q，∴q2===4，而bn＞0，∴q＞0，∴q=2，
∴b=2n-1．
（2）∵Sm=，Tn=2+21+22+…+2n-1=2n-1
由Sm=T12，∴=212-1，∴m2+m-8190=0．
∴m=90，m=-91（舍），∴m=90．
（3）反证法：假设{bn}中存在三项bi，bj，bk（i＜j＜k）组成等差数列，∴2bj=bi+bk
∴2×2j-1=2i-1+2k-1，（※）∵i＜j＜k，∴j-i∈N*，k-i∈N*
∴2j-i+1=2k-i+1．∵2j-i+1是偶数，2k-i+1是奇数，∴等式（※）不成立．∴反设不真．
∴{bn}中不存在三项构成等差数列．