Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x₁，x₂），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（1）若|α-β|=1，求a，b的关系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求证：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

Answer

（1）要求a，b的关系式，可根据方程f（x）=x的两实根为α，β．结合韦达定理（根与系数的关系），用a，b表示α，β．又则|α-β|=1，给出a，b的关系，但在分析过程中，要注意方程有两个不相等的根时，方程的判别式大于零．
（2）由α＜1＜β＜2，我们可以根据零点的存在定理，我们可以得到f（1），f（2）异号，代入可以构造一个关于a，b的不等式组，画出他们表示的平面区域，利用线性规划不难得到结论．
【解析】
（1）由f（x）=x，
得ax2+3x+b=0，
由已知得9-4ab＞0，
∴
∴，
∴．
∴a2+4ab=9，
∴a、b的关系式为a2+4ab=9．
（2）令g（x）=ax2+3x+b，
又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴，
即
又x1，x2是方程ax2+4x+b=0的两根，
∴．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=
由线性约束条件，画图可知．
的取值范围为（-4，6），
∴．
∴（x1+1）（x2+1）＜7．