已知定义在实数集R上的函数f(x),其导函数为f'(x),满足两个条件:①对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函数的f(x)的表达式;
(2)对任意x
1,x
2∈[-1,1],求证:|f(x
1)-f(x
2)|≤4|x
1-x
2|.
考点分析:
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已知
,n=1,2,3,….
求证:100+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)=100f(100).
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在平面直角坐标系xoy上,动点P到定直线l:x=2与到定点F(1,0)的距离之和为3,求动点P的轨迹方程.
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已知函数f(x)=ax
2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0的解集为(x
1,x
2),且方程f(x)=x的两实根为α,β.
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(2)若α<1<β<2,求证:(x
1+1)(x
2+1)<7.
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已知函数f(x)=x
2,g(x)=2elnx(x>0)(e为自然对数的底数).
(1)当x>0时,求证:f′(x)+g′(x)≥4
;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)(x>0)的单调区间及最小值;
(3)试探究是否存在一次函数y=kx+b(k,b∈R),使得f(x)≥kx+b且g(x)≤kx+b对一切x>0恒成立,若存在,求出该一次函数的表达式;若不存在,请说明理由.
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一个公差不为0的等差数列{a
n},首项为1,其第1、4、16项分别为正项等比数列{b
n},的第1、3、5项.
(1)求数列{a
n},与{b
n}的通项公式;
(2)记数列{a
n},与{b
n}的前n项和分别为S
n与T
n,试求正整数m,使得S
m=T
12;
(3)求证:数列{b
n}中任意三项都不能构成等差数列.
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