Question

已知数列{a_n}，前n项和为S_n，若S_n+a_n=n²+3n-1，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在常数p，q，使得数列{a_n+pn+q}为等比数列，若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）结合已知Sn+an=n2+3n-1可把n=1，2，3，4，代入到递推公式中进行求解即可
（2）由已知Sn+an=n2+3n-1可得，Sn+1+an+1=（n+1）2+3（n+1）-1，考虑两式相减可得．结合已知数列为等比数列可构造，利用待定系数法可求p，q，从而可求数列的通项公式
【解析】
（1）∵Sn+an=n2+3n-1，∴s1+a1=3，∴．
n=2时，（a1+a2）+a2=22+3×2-1，∴，∴．
n=3时，（a1+a2+a3）+a3=32+3×3-1，∴，∴．
n=4时，（a1+a2+a3+a4）+a4=42+3×4-1，∴，∴．
（2）∵Sn+an=n2+3n-1，①
∴Sn+1+an+1=（n+1）2+3（n+1）-1，②
②-①得Sn+1-Sn+an+1-an=2n+4，
∴2an+1-an=2n+4，∴．
设．
∴．
令．∴∴
∴存在常数p=-2，q=0．使{an-2n}构成等比数列，首项，公比为，
∴，∴．