Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂[f（a）]=2（a≠1）．
（1）求f（log₂x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]＜f（1）？

Answer

（1）把log2a代入f（x）中，解关于log2a的一元二次方程，求出a的值；再把f（a）的值代入log2[f（a）]=2中，求出b的值；从而确定函数f（x）的解析式；把log2x代入函数f（x）中，配方法求f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）利用对数恒等式和对数函数的单调性解不等式．
【解析】
（1）∵f（x）=x2-x+b，∴f（log2a）=log22a-log2a+b．
由已知有log22a-log2a+b=b，∴（log2a-1）log2a=0．（3分）
∵a≠1，∴log2a=1．∴a=2．（5分）
又log2[f（a）]=2，∴f（a）=4．
∴a2-a+b=4，b=4-a2+a=2．（8分）
故f（x）=x2-x+2，从而f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+．
∴当log2x=即x=时，f（log2x）有最小值．（12分）
（2）由题意0＜x＜1．（16分）