Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数； ②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值为； ④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中正确命题的序号是    ．

Answer

①根据三角形中大边对大角以及正弦定理即可得到f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；②利用正弦定理和三角恒等变形对a2-b2=（acosB+bcosA）2，进行化简得到A=，故△ABC是Rt△；③利用三角恒等变形对cosC+sinC化简得，根据角范围分析即可得到答案；④利用余弦函数的单调性即可证明结论；⑤利用两角和的正切公式的变形tanB+tanA=tan（A+B）（1-tanAtanB），进行化简即可求得结果．
【解析】
①∵a＞b，根据正弦定理得sinA＞sinB，
∴f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数，故正确；
②∵a2-b2=（acosB+bcosA）2
∴a2-b2=（acosB+bcosA）2=a2cos2B+2abcosBcosA+b2cos2A，
整理得a2sin2B=2abcosBcosA+b2（1+cos2A），
即sin2Asin2B=2sinAsinBcosBcosA+sin2B（1+cos2A），
sinA（sinAsinB-cosBcosA）=sinB+cosA（sinAcosB+sinBcosA）
sinAcosC=sinB+cosAsinC，∴sin（A-C）=sin（A+C），
∴A-C+A+C=π，即A=，故△ABC是Rt△；正确；
③cosC+sinC=，
∵0＜C＜π，∴
∴cosC+sinC，故cosC+sinC的最小值为；错；
④∵cosA=cosB，且0＜A、B＜π，y=cosx在[0，π]上单调递减，
∴A=B；故正确；
⑤∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2，即tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1
∴tan（A+B）=1，∴，故错；
故①②④正确．
故答案为：①②④