Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前50项和T₅₀．

Answer

（Ⅰ）由a3和S11的值，分别利用等差数列的通项公式及前n项和公式化简，得到关于a1和公差d的方程组，求出方程组的解得到a1和d的值，由a1和d的值写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）先利用等差数列的前n项和公式，由a1和d写出Sn的通项，然后由an大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范围，进而得到数列{an}各项的正负情况是前6项都大于0，从第7项开始各项都小于0，又bn=|an|，罗列出数列{bn}的前50项和T50的各项，根据负数的绝对值等于它的相反数化简，给前6项乘以2，加上数列{an}前50项的和即为数列{bn}的前50项和T50．
【解析】
（Ⅰ）由a3=24，S11=0，根据题意得：
，
解得：，
∴an=40-8（n-1）=48-8n；
（Ⅱ），
又当n≤6时，an≥0，n＞6时an＜0，
∴T50=a1+a2+a3+a4+a5+a6-a7-a8-a9-a10-…-a50
=-a1-a2-a3-a4-…-a50+2（a1+a2+a3+a4+a5+a6）
=-（40×50-4×50×49）+2（40×6-4×6×5）
=8040．