Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，．
（1）求公差d的值；
（2）若，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范围．

Answer

（1）根据 S4=2S2+4，可得 ，解得d的值．
（2）由条件先求得an的解析式，即可得到bn的解析式，由函数在和上分别是单调减函数，可得b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，故数列{bn}中的
最大项是b4=3，最小项是b3=-1．
（3）由 ，函数在（-∞，1-a1）和（1-a1，+∞）上分别是单调减函数，x＜1-a1 时，y＜1； x＞1-a1时，y＞1，再根据bn≤b8，可得 7＜1-a1＜8，从而得到a1的取值范围．
【解析】
（1）∵S4=2S2+4，∴，解得d=1，
（2）∵，∴数列an的通项公式为 ，∴，
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=-1．
（3）由 得  ，
又函数在（-∞，1-a1）和（1-a1，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a1 时，y＜1；x＞1-a1时，y＞1．
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，∴7＜1-a1＜8，∴-7＜a1＜-6，∴a1的取值范围是（-7，-6）．