Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．

Answer

首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
【解析】
（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，
即．
得圆O的方程为x2+y2=4．
（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，
即x2-y2=2.=x2-4+y2=2（y2-1）．
由于点P在圆O内，故
由此得y2＜1．
所以的取值范围为[-2，0）．