Question

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P；
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C，使共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（2）先假设存在一点C并设出坐标，以及设出M，N的坐标，根据向量共线得出，然后联立直线方程和椭圆方程，得出x1+x2，y1+y2，进而得出，求出m的值，即可求出C的坐标．
【解析】
（1）由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆、（4分）
设所求椭圆的方程为，
∴2a=8，a=4，a2-b2=c2=22=4∴b2=12
∴点P的轨迹方程为．（6分）
（2）假设存在满足题意的点C（x，y）（x＜0，y＞0），设M（x1，y1），N（x2，y2），．∴．
由．（8分）
∴．∴．（10分）
又．∴．又∵x＜0，y＞0∴
所以存在满足题意的点C（）（14分）