Question

已知四棱锥P-ABCD（如图）底面是边长为2的正方形．侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，求PA的长；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer

（I）由已知中，侧棱PA⊥底面ABCD，可得MN⊥PA，结合已知MN⊥AD，由线面垂直的判定定理可得MN⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，可得平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）由已知中BC⊥BA，BC⊥PA，结合线面垂直的判定定理可得，BC⊥平面PBA，即∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角，结合直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，解三角形PBC，即可得到答案．
（III）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD，故∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可求出二面角P-MN-Q的余弦值．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN⊂底面ABCD
∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD  …（3分）
MN⊂平面PMN∴平面PMN⊥平面PAD  …（4分）
【解析】
（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
即…（7分）
在Rt△PBC中，PC=BC：sin∠BPC=
∴…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角  …（11分）
而
∴…（13分）