Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₅＞0，S₁₆＜0，
（1）求公差d的取值范围；   
（2）指出S₁，S₂，…，S_n中哪一个最大？说明理由．

Answer

（1）利用等差数列的前n项和公式得到，，利用等差数列的通项公式得到
以a1+2d=12，即a1=12-2d，联立求出d的范围．
（2）利用等差数列的前n项和公式得到，，利用等差数列的性质得到a8＞0，a8+a9＜0，进一步得到S8最大．
【解析】
（1）因为S15＞0，S16＜0，
所以，，
又因为a3=12，
所以a1+2d=12，即a1=12-2d，
代入上两式得到，
（2）因为S15＞0，S16＜0，
所以，，
所以15a8＞0，8（a8+a9）＜0，
所以a8＞0，a8+a9＜0，
所以a9＜0
所以S8最大．…（12分）