Question

已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和，设b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．
（3）求数列{|b_n|}（n∈N）的前n项和．

Answer

（1）将已知的关于和与项的关系变形，然后仿写一个新的等式，将两个式子相减得到项的关系，利用等差数列的定义得到证明．
（2）求出数列{bn}的通项，令通项小于等于0求出n的范围，即从第几项为负，得到Tn的最大值．
（3）由（2），通过对n的讨论，利用绝对值的意义，将绝对值符号去掉，将数列{|bn|}（n∈N）的前n项和问题转化为数列{bn}的前n项和，再利用等差数列的前n项和公式求出．
【解析】
（1）证明：∵
即4Sn=an2+2an+1
4Sn-1=an-12+2an-1+1
两个式子相减得
an-an-1=2
数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴an=2n-1
（2）∴bn=10-an=-2n+11
令bn≤0

∴数列{bn}中前5项都是正项，从第六项开始为负项
∴Tn的最大值（（Tn）max=T5=25
（3）当n≤5时，|b1|+|b2|+..+|bn|=b1+b2+..+bn=10n-n2
当n＞5时，|b1|+|b2|+..+|bn|=b1+b2+…+b5-（b6+b7+…+bn）
=10×5-52-（10n-n2-10×5+52）=n2-10n+50
∴