Question

已知f（x）=x²-x+k，若log₂f（a）=2且f（log₂a）=k（a＞0且a≠1）．
（1）确定k的值；
（2）求的最小值及对应的x值．

Answer

（1）由log2f（a）=2且f（log2a）=k可得关于a的方程，联立方程可求a，进而可求k
（2）由（1）可得f（x）=x2-x+2＞0．代入=f（x）+，利用基本不等式可求f（x）的最小值及取得最小值的x
【解析】
（1）由题设有，
∴
∵a≠1，
∴log2a≠0，由②得log2a-1=0，
∴a=2，代入①解得k=2．
（2）∵k=2，
∴f（x）=x2-x+2=（x-）2+＞0．
∴=f（x）+≥2=6．
当且仅当f（x）=，即[f（x）]2=9时取等号．
∵f（x）＞0，
∴f（x）=3时取等号．
即x2-x+2=3，解得x=．
当x=时，取最小值．