Question

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51，假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．设试验成功的方案的个数ξ．
（1）求p的值； 
（2）求ξ的数学期望Eξ与方差Dξ．

Answer

（1）由题意记“这两套试验方案在一次试验中均不成功”的事件为A，利用独立事件同时发生的概率公式及对立事件的定义可以求解；
（2）由题意由于验成功的方案的个数ξ，又随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，利用独立事件同时发生的概率公式求出该变量的分布列，并代入公式求出期望及方差．
【解析】
（1）记“这两套试验方案在一次试验中均不成功”的事件为A，
则“至少有一套试验成功”的事件为．
由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1-p．
所以P（A）=（1-p）2，．
令1-（1-p）2=0.51，解得p=0.3．
（2）ξ的取值为0，1，2．（7分）P（ξ=0）=（1-0.3）2=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，P（ξ=2）=0.32=0.09．
所以ξ的分布列为

ξ
O
1
2
P 0.49 0.42 0.09

ξ的数学期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6，
方差Dξ=（0-0.6）2×0.49+（1-0.6）2×0.42+（2-0.6）2×0.09=0.42．