Question

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

Answer

（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值 称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，（3分）
设正方形的边长为x则，
由BP+AP=AB，得，故
所以（6分）
（2），（8分）
令t=sin2θ，因为，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以，，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值，
此时
所以当时，“规划合理度”最小，最小值为．（12分）