Question

已知数列{a_n}中，．
（1）求证：数列{a_2n-1}与{a_2n}（n∈N^*）均为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前2n项和T_2n；
（3）若数列{a_n}的前2n项和为T_2n，不等式3（1-ka_2n）≥64T_2n•a_2n对n∈N^×恒成立，求k的最大值．

Answer

（1）由题意知数列a1，a3，…，a2n-1，…是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式得到即可；
（3）不等式3（1-ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立等价于64T2n•a2n≤3（1-ka2n）⇔64[3-3•]≤3-3k⇔2n+≥64+k.≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤-48求出k的最大值即可．
【解析】
（1）∵
∴
∴数列a1，a3，…，a2n-1，…是以1为首项，为公比的等比数列；
数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列．
（2）T2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3-3•
（3）64T2n•a2n≤3（1-ka2n）⇔64[3-3•]≤3-3k⇔2n+≥64+k
≥16当且仅当n=3时取等号，
所以64+k≤16，即k≤-48
∴k的最大值为-48