Question

已知函数，f（x）=，且是函数y=f（x）的极值点．
（1）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若直线L是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线，且直线L与函数Y=G（X）的图象相切于点P（x，y），，求实数b的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数，利用是函数y=f（x）的极值点，求出a的值；函数y=f（x）-m有两个零点，转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，利用导函数求出函数y=f（x）的单调区间，从而求出实数m的取值范围；
（2）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．
【解析】
（1）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex，
∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex，
由已知，f′（）=0，∴[2+2（1-a）-2a]=0，
∴2+2-2a-2a=0，∴a=1，
∴x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，
∴f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex．
令f'（x）=0得x=（x=-舍去）
当x＞0时，

∴当 x∈（0，）时，f（x）单调递减，当 x∈（，+∞），f（x）单调递增，
∴x＞0时，f（x）∈（（2-2），+∞）
要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或 m=（2-2）；
②当b=0时，m∈（（2-2），0）；
③当b＜0时，m∈（（2-2），+∞）
（2）x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，f'（x）=（x2-2）ex，∴f（2）=0，f'（2）=2e2．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），
∵直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[e-1，e]，∴y=clnx+b，
∴切线l的斜率为 g′（x）=
∴切线l的方程为：y-y=（x-x），即y=x-c+b+clnx，
∴，∴
∴b=2e2（x-xlnx-2），其中x∈[e-1，e]
记h（x）=2e2（x-xlnx-2），其中x∈[e-1，e]，h'（x）=-2e2lnx，
令h'（x）=0，得x=1．

又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．
∵x∈[e-1，e]，∴h（x）∈[-4e2，-2e2]，
∴实数b的取值范围为：{b|-4e2≤b≤-2e2}．