Question

已知函数f（x）定义域是{x|x}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-，当时：f（x）=3^x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求f（x）在（0，）上的表达式；
（3）是否存在正整，使得x∈（2k+，2k+1）时，log₃f（x）＞x2-kx-2k有解，并说明理由．

Answer

（1）先根据f（x+1）=-，得到周期为2；再结合f（x）+f（2-x）=0即可判断f（x）的奇偶性；
（2）任取x∈（0，）⇒-x∈（-，0）⇒1-x∈（，1）；再结合奇函数的性质以及当时：f（x）=3x即可得到结论；
（3）先根据所求结论得到f（x）=f（x-2k）=3x-2k；把不等式转化为x2-（k+1）x＜0在x∈（2k+，2k+1）上有解（k∈N+），得到（0，k+1）∩（2k+，2k+1）≠∅，即可求出结论．
【解析】
（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-=f（x），
所以f（x）的周期为2…（2分）
所以f（x）+f（2-x）=0⇒f（x）+f（-x）=0，
所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）任取x∈（0，）⇒-x∈（-，0）⇒1-x∈（，1）．
∴f（x）=-f（-x）=
∴f（x）=．…（8分）
（3）任取x∈（2k+，2k+1）⇒x-2k∈（，1），
∴f（x）=f（x-2k）=3x-2k；
∴log3f（x）＞x2-kx-2k有解
即x2-（k+1）x＜0在x∈（2k+，2k+1）上有解（k∈N+），
所以：（0，k+1）∩（2k+，2k+1）≠∅，
故有k+1＞2k+，无解．
故不存在这样的正整数．…（12分）