Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

Answer

（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根，故可设f（x）=ax（x+2），利用f（x）≥（a-1）x-1恒成立，求出a的值．
（II）由题意，分情况讨论F（x）在时的最大值H（t）．当t=0时，F（x）是单调函数，可求最大值；当t＞0时，利用二次函数求最值的方法，分类讨论；
（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内，故问题得解．
【解析】
（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根，∴可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）2≤0，∴a=1，∴f（x）=x2+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx2+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情况讨论F（x）在时的最大值H（t）
（1）当t=0时，F（x）=-x-3在时单调递减，；
（2）当t＞0时，F（x）图象的对称轴方程为．∵，∴只需比较的大小
，F（x）max=8t-5；
，
综上可得
（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内
由（II）可知H（t）的最小值为，即-H（t）的最大值为，∴，∴