Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．

Answer

（Ⅰ）因为x∈R，所以定义域关于原点对称．又因为 f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）任意取x1，x2，并且x1＞x2∴，则 f（x1）-f（x2）=＞0，所以f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜＜2∴f（x）=1-∈（-1，1），进而得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）===
所以f（-x）===-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）===1-，在R上是增函数，
证明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴
则 f（x1）-f（x2）=-=＞0
所以f（x1）＞f（x2），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜＜2
∴f（x）=1-∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．